Eftersom det förra inlägget väckte ett gigantiskt raseri, så plockar jag bort det. Det finns kvar som utkast och det hade kunnat diskuteras mer (tror jag) men det har rasat in lite väl många hatkommentarer som inte riktigt leder någon vart.
Däremot lägger jag inte ner bloggen, som en del har föreslagit (bl.a "Åsa-Påsa", som antagligen inte är Åsa Linderborg).
Det tycker jag nämligen skulle vara lite synd.
438 kommentarer:
«Äldst ‹Äldre 401 – 438 av 438Jag tyckte att problemet påminde om paradoxen med haren och sköldpaddan.
Så jag började leta lite och hamnade i Wikipedia. Där står det att Zenons paradoxer löstes i och med ... mängdläran!
(Man ska inte lita blint på Wikipedia. Ligger det något i det?)
http://sv.wikipedia.org/wiki/Zenons_paradoxer
Inte enligt mig, jag har lite annan uppfattning om Zenons paradoxer.
Men om jag ska visa mitt motexempel till 0.999...=1 så blir det en lång historia som börjar med en mask och ett gummiband...
En mask börjar krypa på ett 1 km långt gummiband, han börjar i ena änden och kryper 1 cm varje kryp.
Men efter varje kryp så drar en jätte i andra änden ut gummibandet 1 km, alltså:
masken kryper 1 cm, jätten drar ut gummibandet så att det blir 2 km långt, masken kryper 1 cm, jätten drar ut gummibandet så att det blir 3 km långt osv...kommer masken nånsin fram till andra änden av gummibandet?
Åhhhh.... Masken och gummibandet! Aldrig hört den. Vad härligt. Det låter som något slags infinitesimalkalkyl.
Thomas_E
Det beror ju på vem av masken och jätten som är uthålligast! Trägen vinner! :-)
För att inte tala om när gummibandet brister!!
Men nej alltså, masken kommer ju aldrig fram, den uppnår 1/100000-del (blir det väl?) av sin väg och aldrig mer.
Men när det gäller 0.999... så innehåller ju detta tal oändligt många nior och måste väl därför vara = 1??
Intressant att mängdläran kommer in här - hur vore kul att veta.
/IAMB
Masken kommer fram. Den kryper en hundratusendel på första krypet, en tvåhundratusendel på andra, en trehundratusendel på tredje osv...och om man summerar alla dom delarna så blir det till slut mer än 1. Tror ni på detta?
Ja, som du formulerar det nu, så har jag för mig att summan inte konvergerar utan divergerar.
Ändå: man ser masken framför sig, och efter varje kryp befinner den sig på en plats som är en hundratusendel av hela gummibandet. Nej, det gör den inte!! För även den sträcka som masken krupit dras ju ut, när gummibandet dras ut. Så efter 2 kryp befinner den sig på 3 200000-dels längd s a s. Och då kanske det går ihop sig..
/IAMB
Precis. Nu börjar jag närma mig poängen. Men först lite repetition:
Vi har sett att masken kommer fram eftersom han hela tiden glider med lite, och eftersom talserien 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 osv divergerar(går mot oändligheten).
Hur vet jag då att just den talserien divergerar?
Det är jättelätt att visa, och om någon vill så gör jag det, annars så kör jag vidare med en ny mask på ett nytt gummiband ikväll efter golfen.
Visa gärna hur talserien divergerar. Men gärna en ny mask på ett nytt gummiband också, det här är kul.
Dessutom - om man kapar en mask itu blir det två stycken. Men det är väl en annan historia.
Man gör så här: om man lägger ihop 1/3 + 1/4 så blir det mer än 1/4 + 1/4, eller hur. Alltså lite mer än en halv.
Om man lägger ihop 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 så blir det lite mer än 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8, alltså blir den delsumman också lite mer än en halv och så fortsätter man. Man får oändligt många delsummor som alla är lite mer än 0.5, så man kan få hela serien hur stor som helst, bara man håller på tillräcklgt länge.
Ja, och hur var det nu med det andra gummibandet??
VMS (väntar med spänning)
/IAMB
PS Det tar en helsikes tid för masken, eller hur? Bör vara en långlivad rackare. DS
jojo, långlivad rackare
mouhaha...
MASK kan stå för Mälaröarnas Alpina Skidklubb också. De borde ha vissa chanser att bräcka gummisnodden.
Denna gång gör masken halvmetersskutt och gummibandet är bara en meter långt. En annan skilnad är att jätten drar ut bandet till det dubbla varje gång.
Alltså, ett skutt, bandet dras ut till 2 meter, ett skutt tll, bandet dras ut till 4 meter osv. Kommer masken fram?
Halvmeterskutt!!!
Blir mer och mer imponerad av den.
Maskis och Svettis på en gummisnodd.
Kanske är masken en halvgudomlighet. Får man föreslå att den kallas Herkules?
(Fixar inte svaret på frågan men får en känsla av att det är en liten annan sak än när masken kröp, så jag lutar rent spontant åt nej)
Läste igår, men kunde inte skriva ett svar från den dator jag använde då. Så nu sitter jag på ett internetcafe och hoppas det går bättre.
Alltså, det blir väl så att det hela tiden återstår en halv meter för den stackars masken. Men en halv meter av ett allt längre och mer uttunnat gummiband.
/IAMB
Fullständigt omöjligt för masken att komma fram.
Gärna en till, om det finns!
Masken kommer alltid ha en halvmeter kvar ja. Serien denna gång blir:
(1/2 + 1/4 + 1/8...osv)
Poängen är att denna serie konvergerar mot 0.999... som jag ju tidigare bevisat är EXAKT lika med 1. Alltså kommer masken fram! Trots att han alltid har en halvmeter kvar!
Detta var mitt så kallade motbevis av att 0.999...=1, det blir så tydligt i just denna historia att något inte stämmer.
Vad menar du med att serien konvergerar mot 0.9999...? Den konvergerar väl mot 1, eller möjligen mot 0.11111... i det binära systemet???
Och visst kommer han fram, efter oändligt många skutt. Varför är vi mer beredda att "tro" på oändligheten när något blir mindre och mindre hela tiden, som när 0.999... lämnar mindre och mindre utrymme kvar till 1 ju fler decimaler vi tar med? Egentligen är det ju exakt samma sak som händer i maskexemplet som om vi hade funderat på denna lilla återstod (1-0.999, 1-0.9999, 1-0.99999 etc) och s a s satt ett förstoringsglas och tittat på varjesådan liten återstod och gjort den lika lång. I förstoringsglaset, nota bene! Det jätten gör när han drar ut gummibandet, är ju att göra om den aktuella återstående sträckan så att den blir lika lång som den föregående.
För att matematiskt visa att masken kommer fram efter oändligt många skutt, så har jag för mig att man resonerar om "för varje epsilon finns ett N, sådant att N maskskutt innebär att masken har uppnått (1-epsilon) av gummibandets längd"
/IAMB
Jag skrev 0.999... för att alla skulle förstå, det är ju ingen skillnad matematiskt på 0.999... och 1.
Jag menar att gränsvärdesdefinitionen du nämner inte är det bästa för dagens fysik, jag tror helt enkelt inte på oändligheten och därmed inte på matematik som innehåller oändlighet.
"Infinitesimalkalkylen" dyker hela tiden upp i huvudet.
Ett minne från idéhistorien. Vem som "uppfann" den minns jag ej. Sjuttonhundratal, eller något äldre?
Thomas_E: om du inte tror på oändligheten kan du väl inte heller tro på ditt bevis för att 0.999... är lika med 1? För om det inte finns oändligt många nior i talet, blir väl inte 10*0.999... - 0.999... lika med 9?
/IAMB
Maja: Jag gör det enkelt för mig och hänvisar till Wikipedia (iofs anses inte artikeln fullständig, eftersom det efterlyses mer material om ämnet):
http://sv.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalkalkyl
Men 1700-talet stämmer!
/IAMB
Ja just det, Newton och Leibniz upptäckte (eller uppfann? beroende på om man menar att den existerar eller är ett matematiskt luftslott...?) infinitesimalkalkylen samtidigt oberoende av varandra!
Det minns jag från idéhistorian. Det togs upp i samband med diskussionen om internalism och externalism: internalism kallades den historieskrivning som beskrev hur den ena upptäckten kunde leda till den andra, alltså en inomvetenskaplig beskrivning, medan externalism fokuserade på faktorer runtikring: sociala, politiska, religiösa med flera som "puffade på" i en viss riktning.
Ska friska upp minnet av kalkylen som sådan!
Du har helt rätt, IAMB. Jag tror inte på att 0.999...=1 i alla lägen, men med 10-bas och Weierstrass gränsvärdesdefinition så är det det.
Men då förstår jag inte riktigt... Skulle du inte visa att det går att visa både att 0.999... är lika med 1, och att det inte är det? Det är väl inte så konstigt att det blir så om man inte använder samma förutsättningar i de olika bevisen?
Eller har jag missat något?
/IAMB
"jag tror inte att 0.999... = 1 i alla lägen" -
åhåhå...
"i alla lägen" - härligt när dem exaktaste av vetenskaper (?) börjar likna det situationsbetingade språket.
Finns det en pragmatisk matematik? Under vissa omständigheter - till exempel när vinden ligger på från rätt håll och när matematikguden är på gott humör - kan 0.999 bli 1?
(Jag vet inte vad Weierstrass gränsvärdesdefinition är, gärna en förklaring)
Det där lät lite dumt - "gärna en förklaring!"
Jag menar så här: det skulle vara roligt att få höra en beskrivning av Wierstrass och gränsvärdesdefinitionen. Och gärna en till mask på en gummisnodd... Börjar bli besatt av det här.
Oj det börjar bli svårt att förklara min ståndpunkt. Jag tycker att jag använder samma förutsättningar när jag "visar" att 0.999 både kan vara 1 och inte vara 1, men mitt exempel är kanske inte så bra egentligen. Jag skulle tagit ett av Brouwers exempel men jag tror inte det går att förklara på ett begripligt sätt. Jag försöker med ett annat ganska usel exempel:
Om jag skriver lika många decimaler av pi som "Grahams nummer" är stort, och säger att den sista decimalen är en 3:a, är det sant eller falskt?
Grahams nummer (eller "Grahams tal", som ger fler svenska träffar på nätet) är ett VÄLDIGT stort tal, har jag förstått. Så stort att det krävs ett speciellt skrivsätt för att uttrycka det. Man generaliserar utifrån att exempelvis 3+3+3+3+3 (fem 3:or) kan skrivas 5*3 i stället, och 3*3*3*3*3 (även detta fem 3:or, men med multiplikation) kan skrivas 3 upphöjt till 5 i stället(får inte till detta på tangentbordet på det sätt som det brukar skrivas.) Nu kommer generaliseringen: 3 upphöjt till 3 upphöjt till 3 upphöjt till 3 upphöjt till 3 (fem 3:or även här, men operationen är alltså inte "plus" eller "gånger" utan "upphöjt till") skrivs 3 pil 5 (ska egentligen vara en stående pil och inte ordet pil). Och så här kan man fortsätta generalisera. Det här skrivsättet behövs alltså för att överhuvudtaget kunna uttrycka Grahams tal, så mycket har jag förstått. Men hur stort talet är, hur det skrivs (vilka siffror och hur många pilar som ingår), det vet jag inte.
Grahams tal lär vara det största som ingår i ett seriöst matematiskt bevis.
Eftersom decimalutvecklingen av pi innehåller oändligt många decimaler (det är väl bevisat?), är det inga problem, det måste finnas en decimal som så att säga har Grahams nummer som ordningsnummer. MEN kommer vi någonsin att få veta vad denna decimal är? Det lär finnas en formel för att räkna ut en viss decimal i Pi, exempelvis den 37690:e decimalen. Men kommer det någonsin att kunna finnas så mycket beräkningskapacitet i hela världen att det går att räkna ut vilken den decimal är som har "Grahams nummer"? (Detta känns väldigt konstigt för mig - ett tal som är så stort att det inte går att räkna med det? Förmodligen för att det är ett EXAKT tal - man är van vid att det s a s går att räkna med hur stora tal som helst, fast det då handlar om approximationer och storleksordningar.)
Men ändå - decimalen kan vara en 3:a eller något annat, och är den en 3:a så är det sant att den är en 3:a, annars är det falskt.
Fast vi kanske aldrig kommer att få veta det?
/IAMB
Jag ryser när jag läser detta. Inte av obehag alltså utan bävan.
Skulle rentav kunna brista ut i gråt över hur obegripligt stor världen är.
Bara att skriva ut en bråkdel av Grahams nummer skulle kräva hela kända universums samtliga elementärpartiklar, och då har man knappt börjat, så vi kommer aldrig få veta. Då kan man fråga sig om den decimalen verkligen existerar, enligt mig gör den det inte.
Jag är inte platonist i den frågan, utan mer formalist, med ett stänk av intuitionism. Det lät krångligt men handla bara om ifall vi uppfinner eller upptäcker matematiken.
Här är en bra länk:
http://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/g/graham.htm
Thomas_E: Jag antar att du då anser att vi uppfinner matematiken?
Vad anser du om talet 0.1111... (1/9), kan vi där vara säkra på vilken den decimal som har "Grahams nummer" är?
Maja: På sätt och vis är det ju världen som är för liten och människans uppfinnings- eller generaliseringsförmåga som är för stor. Jag menar eftersom nu alla elementarpartiklar inte räcker till etc... (se Thomas_E:s inlägg ovan).
/IAMB
Japp, den har värdet 1, det kan vi vara säkra på (enligt mig).
Thomas_E: "Bara att skriva ut en bråkdel av Grahams nummer skulle kräva hela kända universums samtliga elementärpartiklar, och då har man knappt börjat, så vi kommer aldrig få veta. Då kan man fråga sig om den decimalen verkligen existerar, enligt mig gör den det inte."
Så skriver du när det gäller en decimal i talet pi uttryckt i decimalform. MEN varför skulle inte denna decimal existera, om nu motsvarande decimal (med samma ordningsnummer) i talet 0.111... gör det? Det krävs ju lika många elementarpartiklar i detta fall för att ange hur långt bort i talet decimalen befinner sig s a s.
Att vi sedan aldrig kan få reda på vilket värde denna decimal (i talet pi alltså) har, är en annan sak, tycker jag. Lika väl som vi kan vara säkra på att decimalen med nr "Grahams nr" i talet 0.111... är 1, så kan vi väl i alla fall vara säkra på att motsvarande decimal i talet pi är något av talen 0 - 9. Och då är det ju också så, att antingen så är den 3 eller något av de andra möjliga talen.
Från början handlade denna diskussion väl om ifall det går att bevisa både att en viss sak är sann och att den är falsk. Men i fallet med pi och Grahams nummer så verkar det som om du försöker visa att det INTE GÅR ATT VISA om den aktuella decimalen är en trea eller inte, och att den i och med detta inte heller existerar. Jag tycker dels att denna senare slutledning är tveksam, dels att det inte är samma sak att visa att man inte kan bestämma om något är sant eller falskt, som att visa dels att något är sant, dels att samma sak är falskt.
Jag vet dock inte om jag är platonist, formalist eller intuitionist!
/IAMB
Jag ska försöka dra ett av Browers exempel angående sant eller falskt, detta var mina egna rätt usla exempel...
Annars kan man läsa lite om kontinuumhypotesen som varken är sann eller falsk, och grunna på vad det innebär.
Tycker verkligen att denna matte-filosofi-diskussion (eller vad man ska kalla den) varit mycket intressant, givande och lärorik! Har fått många uppslag för vidare studier.
Det där med en förklaring av Weierstrass gränsvärdesdefinition som Maja efterlyste, den kommer kanske. Själv är jag lite rädd för att skriva: "så här är det", rädd för att göra fel. Men jag ska leta lite grann så småningom, så kanske jag skriver något om detta.
Annars får du gärna göra det, Thomas_E!
Mvh IAMB
Jag tycker också att den har varit storslagen.
För länge sedan började Thomas E inflika ett
0,999... = 1
med jämna mellanrum i olika diskussioner, det gav ett retsamt intryck, jag tolkade det hela som en pik om bristande stringens i resonemangen. Sedan kök Iamb upp och utmanade Tristan på logik/matematik-duell; någon (Caroline?) menade att jag borde vara en god värdinna och avbryta matematikdiskussionen (eller minns jag fel?) såsom varande spam avsedd att mobba Tristan.
Jag ryckte på måfå upp några spirande tuvor, då flög Iamb på fötter och "gjorde tranan" som det heter i karatesammanhang.
Tristan visade sig inte ha blivit alltför vanärad utan gick baklänges i slow motion ut ur diskussionen, och sedan fortsatte en oväntad oändlighetsdiskussion mellan Thomas E och Iamb.
Meraviglioso.
Skicka en kommentar